Matematiska regler och satser

(motsvarar ungefär gymnasiekurserna A-D)

Potenslagarna

har lösningen

Logaritmer

eller

har lösningen

Riktningskoefficient

k = förändringen i y-led/förändringen i x-led.

En horisontell linje har k = 0. En vertikal linje saknar riktningskoefficient.

Närmevärden

I ett korrekt avrundat närmevärde är feluppskattningen en halv enhet i den sista gällande siffran

En linjes ekvation

där k är riktningskoefficienten och m är skärningspunkten med y-axeln.

Linjära ekvationssystem

Substitionsmetoden: y i den andra ekvationen ersätts med y i den första (eller vice versa).

Additionsmetoden: de båda ekvationerna adderas ledvis.

Trigonometri

sin v = motstående katet/hypotenusan.

cos v = närliggande katet/hypotenusan

tan v = motstående katet/närliggande katet

cot v = närliggande katet/motstående katet

,

Areasatsen: arean av en triangel är halva produkten av två sidor och sinus för mellanliggande vinkel.

Sinussatsen: i en triangel är sinus för vinkeln proportionell mot längden av den motstående sidan. Satsen används då en sida och två vinklar eller två sidor och en motstående vinkel är kända.

Cosinussatsen: används om alla sidor i en triangel är kända och vinklarna söks eller då två sidor och mellanliggande vinkel är kända. Beräkna först vinkeln som står mot den längsta sidan.

Vinkel Sinus Cosinus Tangens
0 1 0
1
1 0

för varje heltal n.

för varje heltal n.

Värdemängden (amplituden) till y = Asin x är

Om k är en positiv konstant har funktionen och perioden

Den trigonometriska ettan:

vilket ger: och

Additionsformlerna:

Dubbla vinkeln:

Radian

och

Algebra

1:a kvadreringsregeln:

2:a kvadreringsregeln:

Konjugatregeln:

1:a kuberingsregeln:

2:a kuberingsregeln:

Andragradsekvation:

Trinom:

Kvadratkomplettering

Ex:

Rotekvation

En fara är att svaret kan ge för många lösningar - kontrollera! Metoden är att alltid kvadrera. Rotuttrycket måste först isoleras.

2 = falsk rot!

Proportionalitet

Variabeln y är proportionell mot x om det finns en konstant k så att y = kx. k är proportionalitetskonstanten.

Algebraisk metod: beräkna kvoten x/y för alla mätdata och undersök om kvoten är någorlunda konstant.

Grafisk metod: pricka in talparet (x,y) i ett koordinatsystem och undersök om en linje genom origo med någorlunda god noggrannhet kan anpassas till punkterna.

Omvänd proportionalitet:

Gränsvärden

Om talföljden har ett gränsvärde är den konvergent. Om inte är den divergent.

Differenskvot:

En funktion är kontinuerlig för x = a om:

  • f är definierad för x = a
  • f har ett gränsvärde då x går mot a
  • detta gränsvärde = funktionsvärdet f(a)

En funktion f(a) är diskontinuerlig för x = a om funktionen inte är definierad för x = a

eller om grafen gör ett "hopp" för x = a.

Derivata

Derivatan av en funktion f(x) är tangentens riktningskoefficient i punkten x.

Ändringskvoten har gränsvärdet Gh går mot 0.

eller h går mot 0.

om f(x) = kx + m så är f'(x) = k för alla x.

Varje konstant funktion har derivatan 0:

Konstanter berörs ej:

För alla positiva heltal n:

 

Derivatan av en produkt:

Derivatan av en kvot:

Tangentens ekvation:

Om en linje har riktningskoefficienten så har normalen till linjen riktningskoefficienten

Om f’(a) = 0 och f’’(a) > 0 har f(a) en lokal minimipunkt i a.

Om f’(a) = 0 och f’’(a) < 0 har f(a) en lokal maximipunkt i a.

Om f’’(a) > 0 i ett intervall är f(a) konvex i intervallet.

Om f’’(a) < 0 i ett intervall är f(a) konkav i intervallet.

Inflexionspunkten är den punkt där andraderivatan byter tecken.

Dsinx = cosx (om vinkeln anges i radianer)

Dcosx = -sinx (om vinkeln anges i radianer)

Integral

Integralens funktion f kallas integrand. Areor beräknas exakt med primitiv funktion F.

Med delintervall kan man beräkna en funktions över- och undersummor. Ett annat sätt är rektangelmetoden där delintervallens mittvärden används.

Funktionen F är en primitiv funktion till funktionen f om F’(x) = f(x) för alla x. Om F0 är en primitiv funktion till f ges alla primitiva funktioner F till f genom där C är en godtycklig konstant.

Om den inre funktionen är linjär ges den primitiva funktionen genom division med den inre funktionens derivata.

Integrationsregeler:

Arean av området mellan två funktionsgrafer ges av differensen mellan dem (se regler ovan).

Volymen av en rotationskropp:

Om kroppen kring y-axeln i stället måste x lösas ut som en funktion av y. Integrationsgränserna räknas då på y-axeln.

Ett klots volym:

Klotytans area:

Gausselimination

Metod för att systematiskt lösa system av linjära ekvationer. Visar skärningen mellan plan och linjer.